GEN024 数学の方法 Mathematical Methods in Science
（2007年度まで NS I B 数学の方法）

この授業について :

• 目的・内容 Course Description
• 受講者の皆さんへのひとこと Message to Students
• 数学学力調査および結果 Research Test and Results
• 授業の反省点 Reivew：２００１年度、２００２年度、２００４年度、２００７年度、２０１４年度、２０１５年度、２０１７年度
• 受講生からのコメント

• このコースは ICU OpenCourseWare として Screen Capture Video など、コースコンテンツを公開しています。

目 的　Description

学習目的 Learning Goals

内容 Course Contents

受講者の皆さんへのひとこと Message to Students

しかし、大学での一般教育科目または自然科学系以外の学生向けの数学として果たしてこれだけで良いのかと疑問を常に持っていました。線形代数や、微分積分といった数学においても基礎的な学問は、数学のみに限らず、自然科学を学ぶ時の必須の数学的手段（道具）であるだけでなく、社会科学を学ぶ時にも、さらに広く政治・経済・企業経営などの実務の面においても必要欠くべからざる道具であり、数学を利用することにより広がる世界がたくさんあることは、周知の通りです。世界広しと言えども、数学の試験なしに大学で学ぶ機会を与えられるのは、日本以外ではほんのいくつかの国のごく少数の分野に限られることは、上記の事実の受け止め方が日本では異常な状態にあることを示していると思います。ものを合理的・科学的に考えようとする場合には、数学あるいは、数学的な考え方を避けて通ることは、あり得ないことであり、また、数式による表現を避けて通ることは、言葉なしにコミュニケーションを計るようなものです。もちろんそれもある程度は可能です。しかし、今の、理系、文系にわけての教育、それも、高校2年からは、ほとんど数学を勉強しない学生は、自らの学習の道を大幅に狭くしてしまっていると私は思っています。もちろんその責任は、学生にあるのではなく、そのような受験制度にした大学、教育機関の当事者（教員および大学などの行政者）、そして教育行政機関および政府です。難しいこと、即効性のないことはいろいろと理由をつけて、避けて通ろうとするが、それでいて、夢中になるのは、役に立たないことばかりという人間のおもしろさと悲しい現実も背景にありますが。しかし、責任を問うばかりではなく、本学のような教養学部教育の大学でまず数学、そして自然科学を積極的にすべての学生が学ぶことが最初ではないかと思います。理学科ではないから、数学は必要ないなどと言う学生がいるとしたら、本当に残念なことです。

この授業では、高校教育の現状も踏まえ、高校で勉強することも丁寧に復習し補いながら、社会科学で数学に出会う時、積極的に学べるよう、また、他の自然科学の基礎科目などを学ぶ時に、数式で違和感を感じないよう、さらに、必要に応じてまたは、自発的に理学科の基礎科目の数学を履修する時の助けとなるような、一つのステップを提供することが大事なのではないかと思いこのコースを作りました。

内容は、線形代数と、微分積分にしました。数学を道具としてまた、自然科学や社会科学のある部分を記述する言葉として数学を考えた時、基本となるものの代表が、この二つだからです。一学期間ですから、網羅的にまたこれらを修得するというレベルに達することを目的にしていません。線形代数や、微分積分の考え方、そして基本的ないくつかの項目について学ぶことができればと思っています。これは、大学での学習において数学を学んでいく、数学を用いていく最初のステップです。もしくは入口と言った方が良いかも知れません。これを機会に次のステップへと進んで下さることを期待しています。

教員にもチャレンジングな試みで正直、不安がありますが、皆さんとコミュニケーションをしながら大学の一般教育科目での数学について一緒に考えることができればと思っています。

最後に一言。線形代数や、微分積分に対応する下記の科目は、２０００年度から社会科学科のすべておよび国際関係学科の一部の専修分野で、専門科目として認められるようになったことをお伝えしておきます。また、２００８年度以降に入学の受講生の方も、経済学など基礎科目や専門科目に指定されています。他の科目との関連については、この授業を楽しんで下さった方へのページも参照して下さい。

線形代数入門、線形代数学、線形代数学特論、微分積分入門、微分積分学、解析学概論 I, II, III（旧科目名：線形代数学 I-II-III、初等微分積分、微分積分学 I-II-III、解析学概論 I, II）

２００１年度授業の反省点

• 新しいコースで、全体像が見えていなかったため、何を内容に加えるかや、重点を置くべき点が不明確で、ハンドアウトなどを自転車操業で作って行かざるを得ず、学生からのコメントにもあるように、講義を自分がするためのまとめなのか、学生の学習の助けとなるのかはっきりしないものが多くなってしまった。焦点がはっきりしていなかったことも、受講生が難しいと感じた大きな原因であると思われる。
• 「集合と論理」では日本語で表現する問題と、数学上の問題を明確に認識して言葉を選ぶことができなかった。日常的に数学語を使っていて、通常の日本語の用法との違いに十分配慮していなかったことも原因と思われる。この発展として推論などを扱うのも面白いが時間的にやはり無理であろう。論理は、実際に線形代数、微分積分と進む中で確認して行くのが重要で、その時点で思い出すことができるような関連性のある題材を選んでおく必要がある。「対偶」「反例」などを簡単に説明しておくことは有効。
• 全体として計算の力をつけることには重点をおかず、論理の展開を中心としようと心がけたが基本的にはこの方針が良いように思われる。学生は、簡単な式変形、因数分解、その他、中学の数学も思い出す必要がある場合も多いので、要点は時間をかけ丁寧に説明する必要がある。計算力などは、実際に数学IIIや、数学Cなどまで勉強して来た学生と数学Iや数学Aまでの学生で大きな差が出ることは当然である。このディシプリンの構築は理学科基礎科目に委ね、ここでは受講生の背景により大きな差が比較的出にくい論理展開の理解に中心をおくのがよいであろう。
• 計算練習を十分することはできないが、演習問題を簡単なものからもっとたくさん用意して配布するなどの工夫が必要。いくつかやっているうちに理解する部分も多い。
• 数学II、数学B程度まで履修している受講生が３／４いた。しかし、数学I、数学Aのみの履修の学生への配慮は重要。中学の部分も確認して行くことは重要。一方、数学I、数学Aのみの受講生もかなり良い成績を取っており、高校での受講科目が大きくは影響していなかったのは評価できる。しかし、裏返すと高校の範囲に入らない項目が沢山あったことも意味している。
• この授業では、教科書を指定することは難しいが、もう少し各自が勉強する手立てを紹介できるように準備する必要がある。
• 一番の感激は、ほとんどの学生があくまでもポジティブに受け取ろうとしていること。十分難しく、大変だったにも関わらずそれをポジティブに受け取ろうとしている姿は、感動であると同時に教えているもの、特に今回のように十分に準備された授業になっていないものをもって教壇に立つものの責任の重大さとしても跳ね返って来る。この緊張感はすばらしい。
• ２００２年冬学期は学生が減るのではと心配もあるが、受講生が楽しめる余裕を持てるような授業にしたいものである。

２００２年度授業の反省点

• 集合と論理を一通り説明した後が難しい。証明に入るのも、ブール代数などに入るのも難しい。簡単に類似点のみ解説して、数学的帰納法などの説明をした方が実際的かもしれない。
• 基本変形、行列の積の計算など基本的な問題の練習を何らかの形で補った方が良い。「できるようになる」ことは目的としないとしても、その後について行ける程度の練習はしておかないと「わかるようになる」ことも不可能。
• 差分に時間をかけすぎた。多項式の基本的な性質や、数学的帰納法は重要としても、階差数列などは、簡単に例などで扱う程度にしたほうがよい。
• 計算が複雑なものをなるべく避ける。しかし、導関数の計算ではどうしても極限になれておかないといけないのでこの練習は十分する価値がある。
• 因数定理を十分使えるようになることは、重要。因数分解でつまるばあいが多い。そのためには、組み立て除法を多項式のところで説明するのも有効かもしれない。
• 微分の導入に時間をかけすぎてしまった。もうすこしすっきり増加・減少の定義と、勾配の式、その意味を幾何的にも時間をかけて説明した方がよい。
• 平均値の定理はださなくて十分。それよりも導関数の意味をしっかり捉えた方がよい。εーδ については、もうすこし考えたい。いずれにしても、これらを使わないで直感では問題がおこる例で、しっかり説明できるものを持っていないで、説明を始めるのは多いに問題。
• 全体として練習問題をホームページに出しておくことも必要かも知れない。最低限必要な練習問題の量は個人によりかなりことなる。
• 三角関数は公式を使えないとあつかうことができないので、今後も避けた方がよいかもしれない。かえって指数関数の意味をよく考えた方が有効。いずれにしても、多項式関数以外の物を導入しないと微分などをまなぶ意味がない。有理関数をもっと使うことも有効。前もって、つくったさまざまな関数のグラフのシートを配っておくことも有効だと思われる。実際にグラフを丁寧に描いてもらうのは難しい。しかし、視覚に訴えることは大切。
• Handout があまりに貧弱。利用の仕方も検討の余地あり。有効なのは、定義、定理、公式などの正確な形を書くこともあるが、それだけだと興味が持ちづらい。例や、練習問題もいれ、２ページ程度のものを毎週配るのがよいと思われる。
• 関数について扱うとき、多項式ばかりではなくもうすこし難しいものの例をいくつかしないと有効性が伝わらない。
• 休みが入ると小テストの曜日が変わってきて予定が立てにくくなる。月・水・金にすることも検討に値する。
• 合成関数の微分・積の微分などはかなり練習が必要。それだけの価値はあると思われる。

２００４年度授業の反省点

• 字が小さかった点：２００３年度は、教室（H２６０）の関係で黒板のしたのほうが見えなかった。これは、黒板の位置を（授業終了後だが）あげてもらった。２００４年度は（H３１５）、長細い教室で、後ろからはとうてい黒板が見えない状態だった。教室自体の構造を変えないと難しいと感じた。多少対処できるのは、大きなスクリーンで、プレゼンテーションツールまたは、書画カメラなどをつかうことであろう。しかし、黒板の前にたって話すのと、スタイルがかわり、正直、気遅れする。来年度はどうしようか。
• NetCommons：コミュニケーションをクラス外ではかるには、有効だと思われる。ただ、Cabinet が学外から使えないなど、まだまだ不便な点がある。また、BBS も結局、私からのメッセージだけになってしまった。何人か書きはじめれば、どんどん書く人が増えたのであろうが、今後の課題。ホームページと複数のチャンネルがあったのはよいが、最初から、NetCommons を中心にしたほうが、安定したサービスが提供できたと思う。途中、Science server が停止した時は、どのように、NetCommons にアクセスをひきよせるが難しかった。
• Hello Chitose は有効だと思うが、クラスとまったく対応しているわけではなく、学生も積極的につかうまではいかなかったと思う。しかし、NetCommons で対応箇所をある程度書いたので、このようなサポートは今後も続けたいと思う。自習としてはここまで整っているものは他にないのだから。利用者２７人。
• 目的を具体的に書くことは、特に、期末試験への準備の動機づけを得るためにも重要かも知れない。
  1. 数学の言葉としての論理、数学の方法として基本的な、線形代数と微分積分の導入を、数学の理解を中心に学習する。知識は高校の数学I・Aのれべるのみとするが、内容は、高校の III・C の内容および、そこで扱わない、通常は大学初年級で扱うものを含む。授業中での理解を基本とするが、自分のノートを整理したり、過去問などの、練習問題をすることにより、理解を確認する勉強法を養う。
  2. 単元ごとに小テスト（全体で７回から９回）、および期末試験で成績を判定する。
  3. 命題の真理値および真理表について理解し、論理演算をともなった論理式の真理表をもとめ、命題が等値かどうかを判定することができるようになる。
  4. 集合と集合演算について理解し、論理演算との関連を理解する。
  5. 連立一次方程式を拡大係数行列で表し、行に関する基本変形で、既約ガウス行列に変形し、解を書き出すプロセスを理解し、簡単な変形および、解をパラメタをもちいて書くことができるようになる。
  6. 連立一次方程式の解があるか、ないか、あるとすると、一通りにきまるか、いくつかのパラメタを使ってあらわすことのできる、無限この解があるかを定理を用いて判定できるようにし、その背景の理論を理解する。
  7. 行列の演算（加法、スカラー倍、乗法）について理解し、計算できるようになる。
  8. 行列の演算を用いて、連立一次方程式を表現することができ、かつ、解も、行列の演算を用いて書くことができることを理解する。
  9. 基本変形が、基本行列をかけることによって得られることを理解し、実際に、一連の基本変形に対応する、行列を書くことができるようにする。
  10. 逆行列をもとめることと、連立一次方程式の解を求めることの関連を理解し、実際に逆行列を求めることができるようになる。
  11. 逆行列が存在する条件、および、[A,I]→[I,B] の変形により、B が A の逆行列となることのメカニズムを理解する。
  12. 多項式の次数および次数公式、剰余、因数定理について理解し、組み立て除法の意味を理解し、実際の計算ができるようになる。応用として、x の多項式を x-a の多項式に変形することができるようになり、その応用例を知る。
  13. 数列の極限および関数の極限の意味を理解する。収束、発散について理解し、その判定法の意味、0/0 の場合の求め方を知る。組み立て除法の有効性、L'Hospital の定理についても、理解する。
  14. 微分係数、微分、導関数について意味を理解する。
  15. 関数の和、差、積、商の微分とともに、合成関数の微分を理解し、利用できるようにする。
  16. 指数関数、対数関数を導入し、合成関数の微分を利用して、これらの微分および、xⁿ で n が任意の実数の場合の微分ができるようになる。
  17. 微分の逆としての不定積分、面積を求めることの拡張としての定積分について理解し、簡単な計算ができるようになる。
  18. 合成関数の微分の公式がどのようにして得られるかを理解し、それを、合成関数の微分および、積分への応用に用いることができるようになる。
  19. この授業で取り扱う数学がどのように他の分野に応用されているかを紹介し、数学の有用性についても理解する。
• 人間だれしもそうだが、能動的に、自発的に勉強するように、励ますのは難しい。せめて、サポート態勢は、しっかりしたいが、一人でできることに限界もある。

２００７年度授業の反省点

• ２００６年度は「数学の世界」を担当したので、二年ぶりとなる。「数学の世界」との目的・目標の違いは意識した。それぞれの特徴があり、共に、ＩＣＵにふさわしい授業だと思うが、来年度の教学改革で「数学の方法」に付けていた条件「理学科生以外」を付けられなくなるので、履修指導を徹底することが求められる。W3 に広告をだすなども必要かも知れない。
• 授業の回数が入試や休日の関係で２７回。前回に比べて３回少なかった。これは、私の責任ではないが、聞くところによるとある教員はすべての時間授業をしているにもかかわらず補習をしたとのこと。一般教育科目で、それは難しいが、このような自体が今後起こらないように、大学としても注意すべきである。来年度は基本的に休日に授業をすることで日数を確保するとのこと。この解決策がよいかどうかは別として、対応すること自体は評価できる。
• 初めて一般教育科目でゲスト・スピーカーをお呼びした。今回は新井紀子先生。「数学は言葉」というタイトルでとても良い授業をして下さった。学生の反応も非常にポジティブなものばかり、通常の授業とは違うこのような講演の意義は大きいことを確認した。これからも、できるだけこのような企画を入れていきたいと思う。
• 過去５年間の授業で、大体の概要はできあがっていたので、今回は、コメントシートの応答に時間を使った。基本的に、小テストの日以外は、毎回コメントシートを実施し（しなかった日は二回）、同種のコメントにまとめて応答することも含めると基本的にすべてのコメントに応答した。それ自体は、信頼関係を築くためにも、受講生の講義受容度をはかるためにも良かったと思うが、すべてのコメントを打ち込むのは、やはり時間もかかるので、改善策が必要。このために、他にすべき事ができなかった面もある。しかし、前回の途中から、コメントを打ち込んであるので、これを利用して、FAQ を作ることはできるかも知れない。BBS を使ったコメントのやりとりは、教員にとって便利だが、有効だとは思わない。授業終了直後のコメントはやはり別物。BBS はやはり違う機能のように感じる。
• NetCommons の利用方法は大体安定してきた。Page の概念があるのが Moodle と比べても使いやすい。無論、Software 自体の完成度は Moodle に劣る面はあるだろうが。Announcement, Schedule, Journal, Cabinet, NSI Home Page, Communication, Report, Related Links. Related Links は、w3 などの Home Page に移すことも考えられる。とても良いものが定番で集まってきたので。
• Report を今回実施した。「応用」と「美しいと感じる定理」片寄りはあるものの、レポートの質は十分だと思う。今回はそれを評価することも得点とした。良い点悪い点もあるだろうが、一つの形ではあると思う。公開 (NetCommons 内) することで、人に見られるということから、ある質が保たれる。もともとレポートの質はこの大学では高いと思うが、それを皆と共有できる。評価することで、ある部分強制的に他のレポートを読むことになる。私のものとは違った評価尺度が入る。正直にいうと、この手のレポートの採点は難しい。特に Net 上に資料がたくさんあり、それをどの程度引用しているか、丁寧にチェックすることはできない。なんらかの主観的なことたとえば「なぜその定理を美しいと思うか」を書いてもらうことである程度評価できるが、それも限界がある。レポート自体は価値があると思うが、評価は正直むずかしい。違う評価基準自体は良いが、それがこのコースに適切かどうかはもう少し検討を要する。
• READ リメディアル教育 e-Learning の利用法、他の Net 上のツールの利用は難しいが、まあこの程度の利用は良いのではないだろうか。
• 今回できなかったのは、練習問題作成と、Handout 改訂。少しずつ、やっていきたい。小テストの返却方法で、クレイムもあった。どうするかは検討が必要。３単位は範囲が広くなる。それは、自然科学系基礎科目を履修するためのステップアップという目的からは良いが、やはりかなり負担に感じる学生が多いことも事実。「数学の世界」との差別化で対応可能か。
• 来年度入学生から、自然科学系３単位となるのは、別の対応を考える必要が生じそう。数学を必修にするのは有効に思うが、学内の反発もあるかも知れない。これも検討課題。

２０１４年度授業の反省点

• 2007年度以来の担当である。最近は「数学の世界」を担当し ICU OpenCourseWare にも公開し、ある完成度に近づいたこと、今年度は、上野健爾先生が客員教授として１年間加わって下り「数学の世界」の担当をお願いできたことなどもあり「数学の方法」を担当することとなった。受講生は、149人（一般教育科目の上限が150なので基本的に上限いっぱい）、内、４年生以上11人、３年生31人、２年生38人、残り69人が１年生、高校で日本語以外で学修した９月入学生は合計で、13人。）月・水・金３時限目70分授業、27回＋期末試験２時間。教室の収容定員 180人。卒業学期の学生５人、障がい学生の配慮依頼２通。
• 日本数学会でも教養教育における数学について話す機会が与えられ、「一般教育科目の数学 --- ひとり一人の背景と 一生における価値を考えながら」というタイトルで講演したこともあり（「数学の世界：この授業について」のページ参照）また、大学で教養学部副部長（学修支援担当（障がい学生支援を含む））、デジタルメディアサポート室長兼務（ICU OCW の責任を担う）として、学修支援、補助金申請、学修・教育センター企画について関わって、教養教育一般に関わる事と、ICUにおける学修支援の両方を考える機会を得た。以下四つの項目について検討した。
  1. 英語での解説をある程度含めることにより、帰国生および日本語を母語としない学生でICUでの日本語教育を終了した学生の学修支援も行うこと。
  2. ICU OpenCourseWare (OCW)に、音声付き画面収録ビデオ (Screen Capture Video with Voice Over) を授業の次の日を目標に公開することで、反転授業とは異なるが OCW を自学の学修支援に活用することを目指すこと。
  3. 障がい学生、特に、理系メジャーをめざしてはいない、視覚障がい学生の一般教育科目の数学における支援方法をさぐること。
  4. 問題解決型のグループ学習など、通常アクティブラーニングと呼ばれる方法の可能性を探究すること。
  コースの企画のなかで、1, 2, 3 は多様な学修背景に対応するために優先するが、4 はスタート地点があまりに違うことを考えると、今回は、不可能を考え、あきらめることとした。応用、工学的な視点からは、4も有効であると思われるが、基礎科目の数学を履修するために、その敷居を低くすることを主目的としている、このコースに、他の要素を入れる事は、貪欲に過ぎると判断した。別のコースが必要かも知れない。退職までの年数を考えると、個人的には断念せざるをえない。
• 2の目的のためには、黒板ではなくスライドの利用が不可欠である。以前は、スライドはスピードが速くなり、数学には不向きと考えていたが、多様な背景の学生の学修支援に対応するためには、スライド＋音声付き画面収録ビデオは良い組合せだと考えるようになっている。背景が異なるとき、まず問題となるのが、説明のスピードである。以前は、真ん中より下の学力（実際には学力というより学修背景）の学生にターゲットをあてゆっくり説明するように心がけていたが、いくらゆっくり説明しても、理解できない学生が多い。自分について考えてみても、一回目の説明で理解することは困難な場合が多い。また、シークエンスで話しても、個人的には、ちょっと前にもどって確認したいことが、出てくることが多いし、それは、受講生が同じように同じ時にそう思うとは限らない。自分で能動的に（アクティブに）学ぶためには、スライドや、ビデオを提供して、学生に任せる方が適切だと考えるようになった。実際、ICUの学生は、むろん、全員ではないが、不得意であっても、必死で勉強する学生が多い。授業時間外でどのようなサポートができるかが、重要であるとの確信に至っているので、勉強したいと考えた時に、その学生に、適切なコンテンツを提供することが重要であると考えるに至った。３回から４回の授業について１回の小テストもそのような学修を促すよい機会になるのであるから「多様な学修背景の学生の授業時間外の学修の動機付けと支援」に集中する事にした。
• スライドを利用し、概要をハンドアウトとして配布することを企画したが、日英で準備するのは、なかなか時間のかかることであった。OCW 公開の質には達していないかも知れないが、今後の改善の比較もできる可能性もある（OCWは、担当教員の授業改善に有効である）ことから、それで良いとした。ただし、まず、ハンドアウトを配布し、そのあと、各授業を考えるので、順番を変更したり、例や説明の仕方を様々に変更しるなどの影響で、ハンドアウトとスライドの関連が十分ではなくなってしまった。今後の改善点である。スライドも授業前ぎりぎりに、できあがることが多かったが、視覚障がい学生のための読み上げ用テキストファイル作成もありばたばたと作業することとなった。しかし、学生から、スライドを暫定版であっても、授業前に公開して欲しいとの希望が出て（ハンドアウトとの不一致も指摘され）途中から、それも、コースマネージメントシステム、Moodle で公開することとした。一回、公開を忘れたとき、自分は、目があまり良くないので、ぜひ事前公開をして欲しいとのコメントがあり、必要性にはいろいろな理由があることを考えさせられた。個人的にもあまり目が良くないので、講演なども、スライドがよく見えないと、あまり話しに集中できないこともよくあるので、このニーズもよく理解できた。インクルーシブな学修環境を構築することは、さまざまな学修者にメリットになることを感じさせられた。
• 音声付き画面収録ビデオは OCW に載せる直前まで自分で編集した。実際の作業時間はトータルで 15分から20分であるが、待つ部分が多く、実際には、すぐには、作業できないこともあったが、どうやら、すべてのビデオを適切に公開できた。最後の復習の時間にいくつか説明できなかった部分は、後で、ビデオを作成し、掲載。項目毎に、短い説明ビデオクリップを作成することも、まさに、反転授業などのように有効かも知れないが、躊躇もある。学生がその部分だけをチェックしようとして、流れや、さまざまな注意を全体として把握する機会を失うかも知れない。活用は簡単ではない。いくつかの項目に関しては有効かも知れない。
• 視覚障がい学生支援は、最初は、TeX を教えることも考えたが、数学を専門とする学生ではないので、負担が多すぎると考え、上付きや下付、行列や、極限、シグマや、積分、微分の書き方の約束を順次行った。基本的には、TeX や、MatLab (or Octave) の記法の中から、一番簡便と思われるものを採用した。このファイルも、OCW として公開予定。ただ、残存視力がかすかにあることから、視力に頼る部分もあり、健康を害する結果も生み出してしまった。中途失明の場合と、生まれつきで、点字などを利用する場合とで、支援方法は考える必要がある。しかし TEXT にしておくことは、有効であると思われる。
• 言語は、学生のコメントをみても、非常に難しい問題だと感じている。基本的に専門用語は日英両方並列で使ったが、それは、特に、日本語を母語とするある割合の学生にとって大きな負担となり、数学に集中できなかったと思われる。共生世界の困難さでもある。基礎科目では、英語の教科書を利用する事もあり、専門用語は英語を中心にしているが、このような一般教育科目で今後どうしていくか難しい。数学を学ぶことに大きな困難を感じている学生にさらなる言い訳を与えることになってしまっているように感じる。
• 小テストがない日はコメントシートを利用し、質問（全部）とコメント（選択）をわたしが選び、大学院生の Course Supporter に TeX で打ち込んでもらい、わたしが応答を書く方式をとった。質問があまりないことが多かったが、コメントに丁寧に対応する事も、特に、学修背景が多様な、一般教育科目では重要であると感じる。これも、ICUOCWに公開している。
• 小テストでは、メッセージ欄でのトピックによるコメントとその応答を行った。一般教育科目で前任校の時代から長年続けていることである。その目的などは、「数学の世界：この授業について」にも書いてあるので、省略するが、今回、三つのトピックを改訂した。そのうちの二つ「I」と「C」の部分は、気に入っているが、継続性も大切にしつつ、柔軟にトピックを考えて行きたい。この欄についても、ポジティブなコメントがいくつもあった。教養教育では価値あることだと思う。これは、授業ヘルパーに入力してもらい、個別に手書きで応答を書き、ホームページにみなへの応答を書いている。ライフワークの様になってきている。
• 数学の世界では、レポートを MOODLE 内で公開するとともに、投票を行い、点数を決めたが、反対も多く、今回は、わたしが採点した。わたしには、上中下ていどしか分けられない。レポートの採点は難しい。しかし、共有するため、やはり MOODLE 内で公開した。他の学生のレポートからも学んで欲しいからである。今後どのように運用するかは不明。
• 今回は、久しぶりだったことも含め、概要について書いた。細かいことについては、書けなかったが、ここまでとする。ここまででも、来年度への改善は十分にある。チャレンジングな授業である。

２０１５年度授業の反省点

• 2014年度は開講言語を「J/E」（日本語中心で英語もサポート）としたが、本年度は諸般の事情もあり、「E/J」（英語中心で日本語をサポート、ただし講義および成績評価に関係する学生の提出物は英語）で行った。受講生は、119人（開講言語を英語としたため、昨年度より受講生減少、しかし本学での英語クラスとしては、十分多い人数でもある。）、内、４年生以上13人、３年生21人、２年生37人、残り48人が１年生、高校で日本語以外で学修した９月入学生は合計で、26人。）月・水・金３時限目70分授業、26回（雪の予報で一回休校）＋期末試験２時間。教室の収容定員 180人。卒業学期の学生6人、障がい学生の配慮依頼１通。
• 英語での授業は今までも何回もあるが、一般教育科目を英語で教えたのは今回が初めてである。基本的に授業も、学生対応も、すべて英語で行った。一番の経験は、学生の多様性が格段に大きくなったことであろう。特別な経験であった。天文台（総合研究大学院大学）からの依頼で「英語で教える」ことに関して、講演も行った。
• スライドを利用し、途中からは、Pen Tablet も利用し、スライドの弱点を補った。概要をハンドアウトとして配布した。昨年度、日英で作成してあったので、可能だと考えていたが、基本的にすべてを英語で伝えることを考えると、不十分な内容が多く、また説明が難しい内容もあり、最低限の準備しかできなかった。また途中から、ハンドアウトに、練習問題を増やしたが、これは、今後ますます整備していかなければいけない課題である。で準備するのは、なかなか時間のかかることであった。今回は、OCW 公開は行わなかったが、Screen Capture Video を Moodle 内で公開した。基本的なパターンができ、Moodle は充実してきたと思われる。
• 言語は、昨年と比較すると、批判はかえって少なかった。英語開講としていたため、学生に覚悟ができていた面はあるかもしれないが、学生の英語能力が、昨年度の学生と比較して格段に高いわけではないと思われることは、興味深い。正直に言って、開講言語を英語にしたのは、正解だったと考えている。あと教える機会は、多くても二回であろうが、英語で開講したい。
• 小テストがない日はコメントシートを利用し、質問とコメント、さらに Quiz のコメントを今回は基本的に全部、学生の Course Supporter に TeX または HTMLで打ち込んでもらい、わたしが応答を書く方式をとった。質問があまりないことが多かったが、コメントに丁寧に対応する事も、特に、学修背景が多様な、一般教育科目では重要であると感じる。しかし正直言って、休む学生が多かった。ビデオがネガティブに働いていることは調査が必要かもしれない。
• 小テストでは、例年通り、メッセージ欄でのトピックによるコメントとその応答を行った。一般教育科目で前任校の時代から長年続けていることである。その目的などは、「数学の世界：この授業について」にも書いてあるので、省略するが、今回は、英語での応答で非常に苦しんだ。私の英語の力は、このようなトピックについて、書くにはまったく不十分であると感じた。しかし、これを続けることで、上達することもあると信じて続けていきたいとおもう。
• 今回もレポートを Moodle 内で公開した。一つの工夫は、トピックの例を挙げたこと。授業内容に関係させることを優先させたことで、多くの学生が、線形代数や、微分積分の関係するトピックを選んでおり、黄金比などが圧倒的多くなってしまった昨年の問題を多少改善できたと思う。もう少し改善したい。
• 英語のコースの少なさは、本学の喫緊の課題である。

２０１７年度授業の反省点

• 2014年度は開講言語を「J/E」（日本語中心で英語もサポート）、2015年度は開講言語を「E/J」（英語中心で日本語もサポート）としたが、言語表記の「J/E, E/J」が無くなったため、本年度は、「E」（基本的に英語）で行った。受講生は、89人（開講言語を英語としただけでなく、理系の一般教養科目が3時限目に多いとのことで、1時限目への開講依頼があり、移したことも影響があると思われるが、受講生減少、しかし本学での英語クラスとしては、依然として十分多い履修者数である。）、内、４年生以上7人、３年生13人、２年生28人、残り41人が１年生、日本のシステム以外の高校で学修した９月入学生は合計で、31人。）月・水・金１時限目70分授業、27回＋期末試験２時間。教室の収容定員 180人。卒業学期の学生3人、障がい学生の特別配慮2人。
• 英語での一般教育科目の授業も二回目で明らかになれてきた。来年度は、定年前の最終年度でもあるので、OCW に公開を検討したい。基本的に授業も、学生対応も、基本的に英語で行った。9月生と、4月生は学修背景だけでなく、学修目的、ICUを選んだ理由も大きく異なるようである。多様な学生と出あることができたのは、明らかにこの一般教養科目を英語で教えたことによる。学生は、コメントを見ると、学力差を感じているようだが、学力差と捕らえないで、学修背景の違いと多様性として、ポジティブに捕らえられるとよいが、講義中心の授業でそれを求めるのは、難しいだろう。
• スライドを利用し、途中からは、Pen Tablet も多用した。少し、使い方が上達したと思うが、スライドに直接書けるわけではないので、不満も残る。Tablet 端末では、それができるが、Screen-Capture も考えると、有料ソフトを除き、コンピュータにも接続する必要があるようで、システムとしても、まだ、不満が多い。
• 概要をハンドアウトとして配布しているが、今回はその改善に時間がとれず、わかりにくいと批判も多かった。教科書を書くことに近い労力も必要で、来年度、それが可能かは分からない。冬学期は、新たにサービス・ラーニングのコースを二つ担当することになっており、定年前の最後の学期は、かなり忙しくなりそうである。特に、線形代数の部分の簡単な練習問題をハンドアウトに増やすことだけは、休みを使って準備しておきたい。Screen Capture Video を Moodle 内で公開した。基本的なパターンができ、Moodle は充実してきたと思われる。
• 言語は、わたしの英語では不満もあるだろうが、批判はあまり聞こえてこなかった。英語開講としていたため、学生に覚悟ができていた面はあるかもしれない。英語で苦労する学生が居ることは確かだが、正直に言って、開講言語を英語にしたのは、正解だったと考えている。
• 小テストがない日はコメントシートを利用し、質問とコメント、さらに Quiz のコメントを今回は基本的に全部、学生の Course Supporter に 打ち込んでもらい、わたしが応答を書く方式をとった。質問があまりないことが多かったが、コメントに丁寧に対応する事も、特に、学修背景が多様な、一般教育科目では重要であると感じる。最後の方では、学生のコメントがほとんど日本語になってしまった。せめて、わたしの質問に対する応答は来年は英語に変えよ。
• 正直言って、休む学生が多かった。ビデオがネガティブに働いていることは否定できないだろう。最後の試験前には、自分でしっかりと学ぶ学生が大多数であることは、嬉しい。
• 小テストでは、例年通り、メッセージ欄でのトピックによるコメントとその応答を行った。一般教育科目で前任校の時代から長年続けていることである。数学と取り組むことになかなか向き合えない学生にも、逆に問題を大きくして、どのようなおとなをめざし、将来なにを目指すのかを、考えてもらうことで、その中に、数学と向き合うことを位置づけてもらいたいという希望があるからである。課題を、拡大して、より普遍的な問題の中に位置づけて考えるという、数学的思考の一つである。わたしがどのように考えて授業を構成しているかは「数学の世界：この授業について」にもある程度書いてあるが、特に、メッセージ欄については、時間のあるときに、なぜこのようなことをしているのか、まとめて書いておくのがよいだろう。
• メッセージ欄では、英語での応答で非常に苦しんだ。私の英語の力は、このようなトピックについて、書くにはまったく不十分である。しかし、これを続けることで、上達することもあると信じて続けていきたい。
• コンピュータの利用で、解決できることが多いために、技術的なことにあまり時間を使わず、論理的な考え方の部分に集中していることを、もう少し、丁寧に説明した方がよいだろう。そのメッセージはあまり伝わっていないようだ。
• 今回もレポートを Moodle 内で公開した。形式を確定させ、レポートの評価基準も Moodle に公開したが、もう少し、評価基準も錬る必要がある。授業内容に関係させることを優先させたことで、線形代数や、微分積分の関係するトピックを選んだ学生が増えたことは良かった。しかし、もう少しメッセージを送ることで、改善したい。

受講生からのコメント

２００２年度

２００１年度

• 自分の勉強が足りなかったせいもあるが、結局のところ馬車馬のように目の前にある問題が解ければよい、という考え方に終始してしまった気がする。正直“楽しい”とはついぞ思えなかったです。謝るべきことかどうかわからないけど、何故結局つらいだけの授業になってしまったのか。「数学は向いていない」という言葉で片付けてしまっていいことなのかどうかよくわからない。
• 難しかったですが、わかったときの喜びを味わえました。先生も本当におつかれさまでした。たくさんのoffice hourに本当に感謝です。積分のかんたんな計算は楽しくなりました。
• 難しかった。ＮＳみたいに演習の時間ありがいいと思いました。
• 先生ありがとうございました。あまりいい点じゃないかもしれませんが、ここまで解けて、自分としては成長したな、と思っています。
• むずかしかったです。でも少し分かると楽しかったです。
• お疲れさまでした。一学期ありがとうございました。
• むずかしかったけど、解ける問題が出てくると、とても楽しく感じる。ワクワクする。問を解いている間、脳の一部が動いている感じがする。
• この授業の数学の扱いは、数学の困難で難しいというイメージを与えないものだったので、数学嫌いになることはなかった。授業の合間にはさむ話もおもしろく、いい気分転換になった。全体的に大変だったが、それなりに数学をたのしめた。
• つらかったです。特にテスト。ごめんなさい。こんなに厳しいとは...。来学期のCalIまでになんとかしないと...。がんばります（予定）。
• 毎回質問に行くたび、とてもていねいにおしえて下さりありがとうございました。点数につながるにはもっと練習をこなさなければなりませんが、何をつかってどうすれば解けるのかがわかるようになりうれしいです。ありがとうございました。
• １年ぶりに大の苦手だった数学を受講し、案の定苦労しましたが、普段あまり勉強しない分野に多少でも触れることで、少しは視野が広がったかな（？）と思います。今後もコンスタントとはいかないまでもできるだけ数学から離れてしまわないようにしていきたいです。
• ハンドアウトをもっと分かりやすくしてください。
• 私には難しすぎました。後半授業に出られないことが多かったのですが、そんなとき先生のホームページがとても役に立ちました。これからもあのＨＰはときどき見ようと思います。
• がんばったから正直Bくらいはほしいです。
• 教育の執心さに驚かされまたうれしかったです。質問にいくと快く迎えて下さったので、頑張ってやろうという気になり頑張りました。けっこうできたと思います。自然科学には興味があり秋学期はまず化学（基化Ｉ）です。Ｈですが積極的にＮＳの科目をとりリベラルアーツをたんのうしたいと思います。有意義な研究休暇をお過ごしください。
• あまり復習しなかったのでよくできませんでした。数学は好き（なつもり）なので少しずつでも勉強していきたいです。難しかったです。
• 進むペースが少し早かったような気がしましたが、とても楽しく、数学の授業をうけることができたのでよかったです。
• 先生が、数学を学ぶ事自体は日常生活にはあまり役立たないが、人間の営み自体ほとんど無駄なことが多く、無駄なことこそ役立つと言っていたのが印象的でした。どうもありがとうございました。
• 授業の開始当初は先生が話しておられる内容が本当にチンプンかんぷんでしたが、丁寧な解説と詳細なHand Outでかなり効率的に学習することができ、今でも恥ずかしいほどバカですが、この春学期間の自分の成長には感激しています。本当にどうもありがとうございました。
• 問題は難しかった。先生が楽しい人だったので数学に興味を持ちました。ありがとうございました。
• ＥＬＰ漬けの毎日のいい刺激になりました。ここで習ったことは経済分野でどう生かされるのでしょうか？（まだ経済を学んだことがないので...）　楽しかったです。
• 前やったことのあるところはわかることができるが、やったことのいとこを短時間でやるのはむずかしい。
• まず、はっきり言って難しいと思いました。でもそれは自分自身サボッてたのかなとも思います。高校と教え方が違うところもあり、それが混乱したり、また楽しかったりもしました。特に微分など、今まで何故微分をするか考えたこともありませんでしたが、理由がわかりおもしろかったです。これからも自分はＳＳで経済とかやりたいと思うので、ＮＳの数学も取ってみようと思います。最後にＳＳの特に経済とかで必要な数学はどのくらいまでか教えて欲しいです。
• 数学は苦手だったのであまり出来がよくないとは思いますが授業面白かったです。ありがとうございました。
• むずかしいー。
• 数学は難しい。
• どうもありがとうごさいました。とてもテストは大変でした。授業は高校のときの復習になったり、新しいことも知れておもしろかったです。あまり想像していたのとは同じでなかったので要領にもうすこしかいておいてほしかったです。今回は初めてだったので、先生も予想と違っていたのかもしれませんが、もう少し、何か実際に結びつけてほしかったです。
• 解き終えてないのに書いてごめんなさい。Classは楽しかったし数学は好きです（できないけど）しかし“相対評価”というのは、成績が全てではないにしてもなんだか頑張りが認められない気がしてちょっと寂しくなるような気がします...。でも今回は、明らかに私の努力が足りなかったので先生にはご迷惑をおかけしましたが解った一瞬の楽しみ・喜びは本当に良いものでした。ありがとうございました。
• 行列や極限は難しく、授業中などはよく途中で「わからない...。」と固まってしまうこともありましたが、自分で復習してみると大体理解することができ、少しわかると、とても面白く感じられるようになりました。最後の微積は高校の時から好きな単元だったので特に楽しく学べました。唯一残念なのが、今回単位を落とさなければ、今後はＧＥの数学を取ってもリピート扱いになってしまうことです。数学ＡとＢ、別扱いにして欲しいなぁ、と思います。どうもありがとうございました。
• 難。
• 難しかった。何のために数学を私たちは勉強するのかを知ることができるようなクラスにしてほしかったです。
• ＩＣＵ高校の入試の数学のテスト見て下さい。おもしろいですよ。大変お世話になりました。