R を可換環、I をイデアルとする。このとき、剰余環 
が、整域や体となるイデアル I の満たすべき条件を考える。
が整域であることは、以下のことと同値である。
命題 
により、
が体であることと、
の 0 でないイデアルは、
のみであることは同値である。これは、言い換えると、R のイデアル J で I を真に含むものは、R に限られるということと同値であるから（練習問題参照）、I が R の極大イデアルであることと同値である。
I：極大イデアル 
：体 
：整域 
I：素イデアル。
R を可換環とすると、上の定理から、零イデアル 
が素イデアルであることと、R が整域であることが同値であり、また、
が極大イデアルであることと、R が体であることが同値である。
定理 により、極大イデアルは、常に素イデアルだから、
を素イデアルとして、I が極大イデアルであることを示す。J を I を真に含む R のイデアルとする。R は、単項イデアル整域だから、
とおける。
だから、a = bc となる 
が存在する。
は、素イデアルだから 
または 
。
とすると、
となり J が I を真に含むイデアルであることに反するから、
。すなわち、c = ad となる
が存在する。これより、
を得る。
だったから bd = 1 すなわち 
となり J = R となるから、I は極大イデアルである。
まず、
は、
と同値であることに注意する。これより、
であることと、
は同値であることが分かる。さて、「
が極大であること」と、「
ならば、
または 
であること」とは、同値である。これより、n の約数は、
であるか、または 
であるかのどちらかであることを得る。極大イデアルは、
とは異なるから、
は、単項イデアル整域であるから、命題 より、零でないイデアルが極大イデアルであることと、素イデアルであることは、同値であることが分かる。
この命題により、
が体であることと、整域であることと、n が素数であることは、全て同値であることもわかった。
が定数の時は、上の３つのどの条件も満たさないから考えなくて良い。そこで、
とする。
は、単項イデアル整域であるから、
が極大イデアルであることと、素イデアルであることは、同値である。このことと、
が既約であることが同値であることを示す。
を可約とする。すなわち、
、
、
とする。すると、
でどちらも等号は成り立たない。
だから、練習問題より以下が同値であることから明か。
逆に、
は極大イデアルではないとする。
を 
を真に含みかつ 
とは異なるイデアルとする。すると、
とかけ、条件から、
は、可約であることが分かる。
次数の高い多項式について、既約かどうかはどのように判定すればよいのだろうか。実は、一般には非常に難しい。しかし、次の判定法は有効である。
可約として矛盾を導く。
とする。
は仮定より p で割り切れるが、
では割り切れない。従って、p は、
は割らないが、
は割ると仮定する。一方、
は仮定から p で割れないから、
も p で割れない。
は p で割れるとしているから、今 i を 
が p で割り切れない最小の整数とする。従って、
すると、
である。仮定から 
となり、これは、矛盾である。従って、
は既約である。
この命題は、
上既約かどうかの判定法であるが、実は、練習問題にもあるように、ガウスの補題（命題 ）といわれるものにより 
上既約であることも分かる。
例えば、
、
は、
上（そして、
上）既約である。
