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一意分解整域と単項イデアル整域

R を整域、 とする。

 

p = ab とする。仮定より、 または とする。 だから、p = au と書ける。 で、R は整域だから

p を素数とする。 とすると、a または のときは明らか。 ab = pc を素元分解とする。

素元分解の一意性より 又は 。そこで、 とすると、 とすると、

この命題は、ある環 R が一意分解整域ではないことを示すためにも用いられる。すなわち、素元ではあるが、それで生成されたイデアルが、素イデアルではない元の存在が示されればそれで良い。

 

命題 gif により 、また、命題 gif により も示してあるから、 を示せばよい。 とすると、p = qa と書ける。仮定より、q が単元か、a が単元。それぞれ、 または、 となる。従って、 は極大イデアルである。

 

R を単項イデアル整域とし、 とする。このとき、 だから を含む極大イデアル が存在する。命題 gif より は素元である。 より、 と表すことが出来、 より、 は、 を真に含む。 ならば素元 が存在して、、() と書くことが出来る。この様にして順に を取っていくとき、正則元でない限りにおいて、真に増加する列

がつくれる。 R のイデアルだから、 と書ける。従って、ある i について、 となるから、 となり真に増加することはない。よってある r について は正則元、すなわち、 は素元で、

一意性: とし、r に関する帰納法を用いる。 で、 は素イデアルだから、 となる i がある。しかし、 で、どちらも極大イデアルであるから、 である。番号を付け替え、 とすると、

を得るから、。帰納法により、r = s かつ、番号の付け替えにより、 となることが分かる。

これにより、ユークリッド整域は、単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は、一意分解整域であることが分かった。しかし、これだけでは、 や、 が一意分解整域かどうかは分からない。



Hiroshi Suzuki
1999年09月30日 21時04分33秒