この節では、可換環に逆元をつけ加えてどれぐらい体に近く出来るかを考える。
R を可換環 S を乗法的部分集合とする。
に次のような関係を定義する。
すると、これは同値関係になる。
を含む同値類を 
で表し、同値類全体を 
で表す。
に加法と、乗法を次のように定義する。
の表し方によらず、一意的に定まり、可換環になる。これをR の S による商環 (quotient ring) という。
、
、
であり、
ならば、
である。
。
を自然な準同型という。
：単射 
S は、零因子を含まない。
体は、
がただ一つの極大イデアルであるから、局所環である。
R を局所環、M をその極大イデアルとする。I を R とは異なるイデアルとすると、Zorn の補題を用いることにより、I を含む極大イデアルが一つ存在する。R は、局所環であるから 
であることが分かる。すなわち、M は、R の真のイデアルをすべて含む。
M を R のただ一つの極大イデアルとする。
だから、
すなわち、
。ここで、
とすると、
だから、
。よって、
。従って、
であり、これはイデアルである。
J を 
なる R のイデアル、
とする。このとき、
だから、
。よって I は R のただ一つの極大イデアルである。
は、
のイデアルである。
、
とすると、
、
だから、
。同様に、
の時、
。従って、
は 
のイデアルである。
.
(
) 
ならば、
だから、明らか。
(
) 
とすると、
となる 
、
が存在する。従って、
を満たす 
が存在する。これより、
だから、仮定より 
を得る。
(`
' であること。) 
とすると、
だから、
。すなわち、
。
(`
' であること。) 
だから、
。
とすると、
であり、かつ、
となる、
、
が存在する。これより、ある 
により、
となるが、この式の右辺は、P に属さず、左辺は、P に属することになり矛盾。従って、
。これより、
を得る。
