ALGEBRA II 代数学 II

１９９９年度中間テスト解答

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• 第一問解答
• 第二問解答
• 第三問解答

第一問解答

1. U(R) = {1, 5, 7, 11, 13, 17} = <5> だから、U(R) は巡回群である。5² = 7, 5³ = 17, 5⁴ = 13, 5⁵ = 11 である。

2. 零因子全体を ZD(R) であらわすと、ZD(R) = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16} である。2, 3 は ZD(R) に入るが、5 = 2+3 は ZD(R) に入らないので、イデアルではない。

3. 直接計算しても求められるが、ここでは、3 (b) を用いる。I を素イデアルとする。f : Z → Z/18Z = Z₁₈ において、J = f^-1(I) とすると、J = (n) は (18) = 18Z を含む Z の素イデアルである。したがって、n は 18 を割る素数。よって、J = (2), (3) となる。それぞれにしたがって、I = {0,2,4,6,8,10,12,14,16}, {0,3,6,9,12,15} となる。素イデアルは、R とは異なるイデアルであることに注意。

第二問解答

1. (i → iii) det(M) は零でないとすると、M は正則行列。ここで、 XM = O とすると M^-1 を両辺に右からかけると、X = O を得る。従って、M は右零因子ではない。(ii → iii) も同様。

   (iii → i) M = (u,v) すなわち、第一列を u、第二列を v とする。det(M) = 0 とすると、u, v は一次従属だから、どちらかは零ではない a,b で au + bv = 0 と書ける。そこで、第一行を (a,b)、第二行を (0,0) とする行列 X を考えると、XM = O である。X は零行列ではないから、これは、M が右零因子であることを示している。(iii → ii) も同様。

2. E_1,2E_2,1 = E_1,1 だから E_2,1 を含むイデアル I は、{a E_1,1 + b E_2,1 | a, b は実数 } を含むことがわかる。E_1,2E_1,1 = E_1,2E_2,1 = E_2,2E_1,1 = E_2,2E_2,1 = O だから、I = {a E_1,1 + b E_2,1 | a, b は実数 } であることもわかる。

3. J を両側イデアルとする。M を J の零でない元とし、その (i,j) 成分 M[i,j] が零でないとする。すると、 E_s,iM E_j,t = M[i,j] E_s,t だから、これより、E_s,t が J に入ることがわかる。s,t は任意だから、R = J を得る。

4. M を中心の元とする。E_s,t M = M E_s,t であることを用いると、M はスカラー行列となることがわかる。スカラー行列が中心の元であることは、明らかである。

第三問解答

1. a, b を J の元とし、r を R の元とすると、f(a), f(b) はイデアル I の元で、f(a+b) = f(a)+f(b) だから、f(a,b) も I の元である。従って、a+b は J の元である。同様に、f(ra) = r f(a) だから、f(ra) も I の元で、ra が J の元であることが分かる。従って、J は A のイデアルである。

2. a, b を A の元とし、ab を J の元とする。すると、f(ab) = f(a)f(b) は、素イデアル I の元だから、f(a), f(b) のどちらかが、I の元となる。従って、a または、b が J の元となる。これは、J が、素イデアルであることを示している。

3. f : A → B (a → a) を考える。このとき、f^-1(I) は I と A の共通部分だから、この共通部分は、前問より素イデアルとなる。